Айналамыздағы комбинаторика


Атырауоблысы Атырау қаласы

Атырауоблыстық дарынды балалар мектеп-интернатының

6 сынып оқушысы Тлеміс Саят

Ғылыми жұмыс тақырыбы: Айналамыздағы комбинаторика

Жетекшісі: Ажайпова Әлия Сүйіндікқызы

Атырау облыстық дарынды балалар мектеп-интернатының 6 сынып оқушысы Тлеміс Саяттың жұмысына жетекші,аталған мектептің математика пәнінің жоғары санатты мұғалімі Ажайпова Әлияның

Пікірі

Математика негізінен жаратылыстану-ғылыми,инженерлік- техникалық және гуманитарлық зерттеулерде негізгі роль атқарады.Ол білім берудің барлық салаларында сапалы есептеулер мен зерттеулер жүргізудің құралы ғана емес, сонымен қатар ұғымдар мен мәселелерді дұрыс шешудің көзі болып табылады.

Интеллект бәсекелестігі кезеңіне сәйкес келген XXI ғасыр –инновация мен индустрияның заманы.Уақыт үнін сезінген жас буын білімнің ең биік шыңына көтерілу арқылы елдің индустриалды инновациялық өрлеуіне ықпал жасайтын болады.

Қазіргі сәтте адамға экономикалық мақсаттарды шешудегі шеберлігі қажет.Экономикалық есептер адамның бүкіл тіршілік өмірінің бойында кездеседі.Комбинаторикалық есептер ,көбінесе осы экономикалық есептерге жатады.Сонымен қатар комбинаторикалық есептер зерттеушілік сипаттағы есептер болып табылады.Кез-келген оқушыға зерттеушілік сипаттағы есептерді шешу қиыншылық туғызады. Сондықтан есептердің шығарылуының қысқа әрі тиімді жолын іздеу бүгінгі күндегі өзекті мәселе деп ойлаймын. Оқушының зерттеу тақырыбы осынысымен өзекті. Жұмыс ізденушілік – практикалық бағытында.Оқушы комбинаторикалық есептердің шешу жолдарын қарастырып, өзінің жас шамасына байланысты тұжырымдар жасаған. Жұмыс барысында ғылыми әдебиеттер, басылым материалдары жинақталып, жоспар бойынша таңдап алынған.

Оқушы бойында элементарлық сауаттылықтан гөрі, танымдық қабілет, ғылыми зерттеу жүргізуге, сапалы шешім қабылдауға ұмтылушылық байқалады.Оқушының тұжырымдаған бұл әдісін төменгі сыныптарда факультатив сабақтарда және математика сабақтарында қолдануға болады.

Кейбір теориялық материалдар алдағы сыныптарда күрделеніп берілетінін ескеру керек.

Мазмұны:

Кіріспе……………………………………………………………………… …3

Негізгі бөлім

1.Комбинаторика түсінігі

1.1 Комбинаторика ұғымы және оның шығу тарихы……………………………….4

1.2. Мектеп математика курсындағы комбинаторика ……………………………6

1.3Комбинаторикалық есептер- біздің айналамызда……………………………….7

1.4Комбинаторикалық есептердің шешу әдістері…………………………………..11

II.Социологиялық сұхбат………………………………………………………………………14

Қорытынды.……………………………………………………………………………………….15

Пайдаланылған әдебиеттер

1 Мектеп математика курсындағы комбинаторика
1.1 Комбинаторика ұғымы және оның шығу тарихы………………………… 6

1.2 Қайталанбайтын таңдамалар үшін комбинаторика формулалары…… 8

1.3 Қайталамалы таңдамалар үшін комбинаторика
1.4 Ықтималдықтарды есептеу тәсілдері. Элементтердің парлары……… 18

2 Мектеп математика курсындағы комбинаторика және оны ықтималдықды есептеуде
2.1 Қосу және көбейту ережелері.Комбинациялардың тізімі.

Лексикографиялық рет……………………………………………………………….. 31

2.2 Алмастырулар мен орналастырулар. Факториал…………………………… 33

2.3 Терулер……………………………………………………………………………………….. 35

2.4 Ықтималдықтарды есептеудегі комбинаторика……………………………. 38

2.5 Тақырыптың қазіргі мектеп математика оқулықтарында баяндалуына талдау…………………………………………………………………….. 49

Қорытынды…………………………………………………………………………………. 61

Пайдаланылған әдебиеттер………………………………………………………….. 62

Түйіндеме

Жұмыстың мазмұны:

Комбинаторикалық есептерді талдап ,шығарудың дұрыс,неғұрлым жылдам,әрі тиімді тәсілдерін табу

Негізгі сұрақтар:

1.Комбинаторика дегеніміз не?

2.Комбинаториканың пайда болуына және дамуына не түрткі болды?

3.Комбинаторика адам әрекетінде қайда қолданылады?

Проблемалық сұрақ:

Комбинаторикасыз өмір сүру мүмкін бе?

Кіріспе

Тәуелсіздік алған Қазақстан Республикасы үшін елдің ертеңі жарқын, болашағымыз кемелді, ұрпағымыз сауатты болуы үшін әрине еліміздің дамуының басқа бағыттарымен қатар білім саласы да ерекше маңыздылыққа ие болуы қажет. Білім берудің бүгінгі күнгі талабы- оқушының жан-жақты іс-әрекеттік қабілетінің дамуы. Оқушыны дамытуда ежелгі замандардан бері математиканың алар орны ерекше. Математика ғылымының өзге ғылымдар мен техниканың қарқынды дамуына қосар үлесі аз болған жоқ.

Математика – барлық ғылымдардың логикалық негізі болғандықтан да оқушының дұрыс ойлау мәдениетін қалыптастырады, дамытады, оны шыңдай түседі, оған қоса өзге салаларды дұрыс қабылдауға көмек береді.

Математикалық логиканы жетік түсінбейінше, оны меңгеру өте қиын. Себебі қазіргі кезде ғылым мен техника қарыштап дамыған сайын, ол -адамның ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылады.

Математикалық тұжырым жасау-жоғарғы математиканы үйрену кезінде және алған білімдерді болашақта қолдануда өте пайдалы.

Шотландық Непер(1550-1617)»Есептеу жұмыстарымен шұғылданғандардың көпшілігін математикадан үркітіп,шошытып жіберетін,қиыншылықтардан жалықтырып жіберетін жағдайлардан шама шарқым келгенше құтылуға тырысып бақтым» деген екен.Комбинаторикалық есептерді шешуде белгілі бір әдістер мен формулаларды пайдалану есептеу жұмысын анағұрлым жеңіл де,тез де орындалатын болады

Бұл жұмысты дайындай отырып, мен алдыма осы тақырыпқа тереңірек үңіліп,комбинаторикалық есептердің тиімді, әрі тез шешілетін әдістерін үйренуді мақсат етіп қойдым.

3

I. Комбинаторика түсінігі

1.1 Комбинаторика ұғымы, шығу тарихы

Комбинаторика — жиындарды және олардың арасындағы қатынастарды зерттейтін математиканың бір бөлімі. Комбинаторика математиканың көп салаларымен — алгебрамен, геометриямен, ықтималдықтар теориясымен тығыз байланысты және генетика, информатика, статистикалық физика салаларында кеңінен қолданылады.

Комбинаторика терминін 1666 жылы Лейбниц енгізген. Комбинаторика (лат. сombino — жалғастырамын) комбинаторикалық анализ деп те аталады. Комбинаторикалық анализ- комбинаторикалық математика.

Комбинаторика — математиканың кез келген шектеулі жиын бөліктерінің орналастырылуы мен өзара орналасуына байланысты мәселелерін зерттейтін бөлімі.Математика мен оның қолданылу аясында әр түрлі шекті жиындармен және олардың ішкі жиындарымен жиі-жиі істес болуға тура келеді.Бұған олардың әрқайсыларының элементтерінің арасындағы өзара байланысты тағайындау,жиындар санын немесе немесе белгілі бір қасиетке ие болатын олардың ішкі жиындарын анықтау жатады.Осындай мәселелерді қаланың ішкі қатынас жолын барынша тиімді пайдалануда,автоматты телефон байланысын ,теңіз қатынасы жұмысын ұйымдастыруда,сондай — ақ лингвистикада,автоматты басқару жүйесінде және көп салалы математикалық статистиканың барлығында да қарастырылады.Комбинаторика –ақырлы жиын элементтерін белгілі бір ретпен орналастыру,бөліктеу т.с.с және олардың арасындағы қатынастарды зерттейтін математиканың бір бөлімі .

Жиындардың құрамы мен саны және ішкі жиындарды зерттейтін әдістер ілімі комбинаторика деп аталады.

4

Комбинаторикалық анализ есептері ерте кезден-ақ белгілі болған. Комбинаториканың тарихы өте ерте кезден басталады.Кобинаторикалық есептер дойбы,шахмат,домино секілді ойындардың нәтижесінде қалыптасты.Адамдар ежелден-ақ комбинаторикалық есептерді қолданған.Ежелгі Қытай сиқырлы квадраттар жинағына қызықты.Ал ежелгі грекия өлең өлшемі ұзын және қысқа буындардың түрлі комбинация санының бөліктерінен құрылуы мүмкін деген теорияны қалыптастырды. XVII ғасырдың II жартысында Паскаль мен Ферма арасындағы хат алмасу кезінде ғалымдар құмар ойындарда кездесетін заңдылықтарды ғылыми тұрғыдан негіздеп бақты.Тарихшы ғалымдар ықтималдық теориясының пайда болуын осы хат алмасулардан бастау алады деп бағалайды.

Бұл теорияның дамуына нидерланд математигі Х.Гюйгенс (1629-1695), неміс ғалымы Г.В. Лейбниц (1646-1716), швейцар математигі Я.Бернулли (1654-1705) және өзгелер қомақты үлес қосты. XVIII ғасырда жаратылыстану және тұрмыс-тіршілік мұқтаждықтары (бақылау қателіктері теориясы, оқ ату теориясы есептері, статистика мәселелері және т.с.с ) ықтималдықтар теориясының дамуын жаңа сатыға көтерді

Оның дамуына көптеген математиктер елеулі үлес қосты. Бірақ, комбинаторикалық анализ өз алдына пән ретінде тек ХХ ғасырда ғана қалыптаса бастады.

Комбинаторлық әдістерді физика, химия, биология, экономика, тағы басқа ғылымда қолдануға болады.Саны шектеулі элементтерден әртүрлі комбинациялар құрастыруға және белгілі бір ереже бойынша құрастырылған барлық мүмкін комбинациялар санын есептеуге тура келетін жағдайлар жиі кездесіп отырады. Мұндай есептер комбинаторлық есептер, ал оларды шешумен шұғылданатын математика бөлімі комбинаторика деп аталады. Көптеген комбинаторлық есептерді шешу үшін қосынды және көбейтінді ережелерін қолданады. Комбинаторика есептерін шешуде қолданатын өзіндік заңдылықтар мен формулалар бар.Төменде қарастырылған комбинаторлық есептерді шешу жолдарын қарастыралық.

5

1.2 Мектеп математика курсындағы комбинаторика

Іс жүзінде адамға заттардың өзара орналасуының барлық мүмкін жағдайларын есептеуге немесе қандай да бір іс-әрекеттің барлық мүмкін нәтижелерін және оны орындауға қажетті барлық мүмкін тәсілдер санын есептеуге тура келеді. Мысалы: әр түрлі 5 кітапты екі оқушыға неше түрлі тәсілмен үлестіріп беруге болады? Футболдан әлем біріншілігінде жартылай финалға шыққан 4 команда арасында алтын, күміс, қола медальдары неше түрлі тәсілмен иемделінеді және т.с.с. Бұл есептерде заттардың өзара орналасуының немесе іс-әрекеттің барлық мүмкін комбинациялары қарастырылады. Сондықтан, мұндай есептерді комбинаторикалық есептер деп атайды.

Комбинаторикалық есептердің шешу әдістерін былайша топтадым:

Нұсқалар кестесі,мүмкін нұсқалар ағашы,көбейту ережесі

Нұсқалар кестесі әдісі арқылы төмендегі сияқты комбинаторикалық ес ептерді қарастырайық.

1.Шахмат турниріне 6 адам қатысқан.Әрқайсысы бір-бірімен 2 партия ойнаған. Неше партия ойналды?Бұл есепті нұсқалар кестесі арқылы шығаруға болады

I II III IV V VI
I + + + + +
II + + + +
III + + +
IV + +
V +
VI

Сонда” + „таңбасын санасақ 15 партия,ал бір-бірімен 2 партиядан 2*15=30 партия ойнаған.

2.Сабақ кестесін құрғанда үш мұғалімнің сабақтарының реті бойынша өтініштері мынадай болды.Математика бірінші немесе екінші сабақ,тарих бірінші немесе үшінші сабақ,әдебиет екінші немесе үшінші сабақ болсын.Сабақ кестесін құрғанда қанша тәсілмен және қалай барлық мұғалімдердің өтініштерін орындауға болады?

6

математика тарих әдебиет
№1 +
№2 +
№3 +

Жауабы: математика-№1,әдебиет-№2,тарих-№3

Комбинаторикалық есептерді шешуде мүмкін нұсқалар ағашы әдісін қарастырайық .Мысалы:

1.Мектепте спорттық үйірмелер,жас натуралистер үйірмесі,көркемөнерпаздар үйірмесі және жас математиктер үйірмесі бар.Марат осы үйірмелердің екеуіне ғагна қатыса алады.Мараттың мектептегі осы үйірмелерді неше нұсқада таңдау мүмкіндігі бар?

Шешуі: *

А-Спорттық үйірме

В-Жас натуралистер

С-КөркемөнерпаздарА В С

Д-Жас математик

В С Д С Д Д

Жауабы:6 нұсқасы бар

2. Орал, Қостанай, Павлодар, Ақтау және Тараз қалалары екі-екіден тікелей ұшатын әуе жолдарымен байланысқан болса, осы қалалардан ұшақтар бір-біріне тікелей ұшатын неше әуе жолы болуы мүмкін.

ОҚ П А Т

Қ П А Т П А Т А Т Т

Шешуі :: 10 әуе жолы бар

7

4.Ал қызыл,көк ,сары және жасыл түсті шарлардан тізбе дайындаудың неше нұсқасы бар?

Қ К

К С Ж Қ С Ж

С Ж К Ж С К С Ж Қ Ж С Қ

Ж С Ж К К С Ж С Ж Қ Қ С

С Ж

Қ К Ж Қ К С

Ж К Ж Қ Қ К С К Қ С К Қ

КЖ Қ Ж К Қ К С С Қ Қ К

Жауабы: 24 нұсқа

3. Көбейту ережесі

Мысал келтіруден басталық. Айталық, { a,b,c }- 3 элементті жиынның 2элемент бойынша орналастырулары : (a,b),( a,c),( b,a), (b,c),(с,а),(с,b) Көбейту ережесі.k орындаудың m оқиғаны іске асыру керек болсын. Бірінші кезеңдікезеңнен тұратын қандай да бір1, орындаудың mекінші кезеңді2т.с.с. k кезеңді орындаудың mkтәсілі бар болса сол оқиғаны толық іске асырудың барлығы

•…•

түрлі тәсілі болады

3*2*1=6 немесе орналастырулар не элементтерінің құрамы бойынша ,немесе элементтерінің орналасу реті бойынша ажыратылады.

10

Орналастырулар. N элементтің m элементінен тұратын (m<n) реті бойынша өзгешеленетін комбинацияларжәне бір-бірінен құрамы немесе орналасу реті бойынша n элементтен m элемент бойынша жасалған орналастырулар деп аталады.

n элементтен m санынэлемент бойынша жасалған орналастыру деп белгілейді және оны есептеу үшін мына формула қолданылады:

(2)

nфакториал (лат. factorіal, factor — көбейткіш) — бірден бастап белгілі бір n натурал санына дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісі, яғни 1·2·3·…·n. Ол n! деп белгіленеді. “Факториал” терминін француз математигі Л.Арбогаст (1800), n! белгілеуін неміс математигі К.Крамп енгізген (1808). Факториал математиканың әр түрлі формулаларында қолданылады.

Жоғарыдағы мысалды ,яғни 3 элементтен құралған жиынның 2-ден орналастыруларын есептеудің тағы бір тәсілі, осы формуланы пайдалансақ:

===6

Жауабы:6 тәсілмен

{\displaystyle n!={\begin{cases}1&n=0,\\n\cdot (n-1)!&n>0.\e Қосу ережесі. Өмірде қарапайым бір оқиға орындалуының бірнеше қандай да бір m1, m2, …, mkтүрлі тәсілдері болса сол оқиғаны орындаудың, барлығы

m1+m2+…+mk түрлі тәсілі бар болады.

Алмастырулар. п ретімен ғана өзгешеленетін комбинациялардыэлементтен тұратын және бір-бірінен тек орналасу п элементтен жасалған алмастырулар деп атайды. n элементтен жасалған алмастырулар саны үшін мынадай формула қолданады: және алмастырулар санын есептеудеп Рn белгілейді

Рn=n! (1)

Мұндағы n!=123…n.

Алмастыру орналастырудың k=n мәніне сәйкес дербес жағдайы.

11

Мысал: Шақырылған 8 қонақты 8 орындыққа неше тәсілмен отырғызуға болады?

Шешуі:=8=12345678=40320

Терулер

Мысал: { a,b,c }-;жиынының k=2 элементті терулері элементтерінің тек қана құрамы бойынша ажыратылады.(a,b),(a,c),(b,c)

Міне берілген 3 элементтен 2-ден жасалған және айырмашылықтары элементтерде болатын қосылыстар осылар. Осындай қосылыстар терулер деп аталады. Берілген n элементтен k-дан жасалған терулер дегеніміз — бір-бірінен айырмашылықтары ең болмағанда бір элементінде болатын қосылыстар.

n элементі берілген жиыннан әрқайсысы m нен жасалған және m<n, бір-бірінен құрамы бойынша ғана өзгешеленетін комбинациялар n элементтен m элемент бойынша жасалған теру деп аталады. :деп белгіленеді

n элементтен m элемент бойынша жасалған теру үшін мына формула қолданылады

(3)

Сонда жоғарыдағы мысалды формула бойынша есептеп көрсек:

===3

2 мысал.Жиналыстағы 30 кісіден конференцияға 2 делегатты қанша тәсілмен сайлауға болады?

Шешуі:

====435

Жауабы:435 тәсілмен

12

3 мысал.Сыныпта 35 оқушы бар.Осы оқушылардың ішінен бір старостаны,бір орынбасарын,бір редколлегия мүшесін және бір спорт секторын сайлаудың неше тәсілі бар?

Осы есепті жоғарыдағы тәсілдердің көмегімен бірнеше шығару жолын көрсетейік:

1.Көбейту ережесі.

Старостаны 35 тәсілмен таңдаймыз

Орынбасарын 35-1=34 тәсілмен.

Редколлегия мүшесін 34-1=33 тәсілмен

Спорт секторын 33-1=32 тәсілмен таңдаймыз.

Сонда бәрін көбейтсек: 35•34•33•32=1256640

Жауабы:1256640 тәсілі бар.

2.Қайталанбайтын орналастыру .

===32=1256640

3.Теру мен орын алмастырудың көбейтіндісі орналастыруды беретіндігін байқадым .Осыны дәлелдеп көрейік:

•=

•=m==

13

Олайболсажоғарыдағы есепті шығарудың тағы бір тәсілі:

•=4=32=1256640

Математикадағы комбинаторика көптеген логикалық есептерді оңай жолдармен шығаруға, есептерді шешуде және олардың шығару жолдарын адам есіне лезде сақтап қалу үшін де көмектеседі.

Осы тақырыппен жұмыс жасау барысында сынып оқушыларына сауалнама жүргізілді.

Социологиялық сұхбат:

Комбинаторика бізге керек пе?

Бұл біздің сынып оқушылары арасындағы жүргізілген сауалнама

Осылайша көптеген оқушылардың пікірі бойынша комбинаторикалық есептер адам өмірінде өте маңызды деп есептеймін.

14

Қорытынды

Математика- оқушының дұрыс ойлау мәдениетін қалыптастырады, дамытады, оны шыңдай түседі, оған қоса өзге салаларды дұрыс қабылдауға көмек беретіндігін ескере отырып, жоғарыда қарастырылған есептер оқушының пәнге деген қызығушылығын арттырады деп қорытындылай аламыз. Білімге, дағдыға, ептілікке үйрететінін атап көрсетуге болады.Сондықтан комбинаторика алған математикалық білімін нақты қолданатын, адам өмірінде маңызы зор математиканың бір тарауы ретінде қарастырылады. Математикадағы комбинаторика көптеген логикалық есептерді оңай жолдармен шығаруға, есептерді шешуде және олардың шығару жолдарын адам есіне лезде сақтап қалу үшін де көмектеседі. Комбинаториканың қолданылу аясы өте кең.Белгілі бір тәртіппен обьектілерді іріктеу және орналастыру адам қызметінің барлық бағыттары бойынша кездеседі.Ол механизмдердің жаңа модельін құрастыратын конструкторшыға да,ауыл шаруашылық дақылдарын бірнеше жерге таратып егуді жоспарлау үшін агроіномға да, құрамында белгілі бір органикалық молекулалардың құрылымын зерттеуші химикке де керек.

15

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. Жаңбырбаев Б.С., Добрица В.П. Математикалық логиканың бастамалары: Оқу құралы – Алматы: Абай атындағы АлМУ, 2001.

2. Ершов Ю.Л., Палютин Е. А. Математическая логика. – СПб.: Лань, 2004.

3. Игошин А.А. Математическая логика, теория алгоритмов. – М., Академия, 2004.

4.Аймбетова М. Т. Комбинаторикалық есептерді шешу [Текст] / М. Т. Аймбетова, А. Б. Боранбаева, И. А. Сембаева // Молодой ученый. — 2015. — №8.1. — С. 1-2.

5.Е.Ж.Айдос,Т.О.Балықбаев.Математика.Алматы-2006

Математика- оқушының дұрыс ойлау мәдениетін қалыптастырады, дамытады, оны шыңдай түседі, оған қоса өзге салаларды дұрыс қабылдауға көмек беретіндігін ескере отырып, жоғарыда қарастырылған есептер оқушының пәнге деген қызығушылын арттырады деп қорытындылай аламыз. Білімге, дағдыға, ептілікке үйрететінін атап көрсетуге болады.Сондықтан комбинаторика алған математикалық білімін нақты қолданатын, адам өмірінде маңызы зор математиканың бір тарауы ретінде қарастырылады. Комбинаториканың қолданылу аясы өте кең.Белгілі бір тәртіппен обьектілерді іріктеу және орналастыру адам қызметінің барлық бағыттары бойынша кездеседі.Ол механизмдердің жаңа модельін құрастыратын конструкторшыға да,ауыл шаруашылық дақылдарын бірнеше жерге таратып егуді жоспарлау үшін агроіномға да, құрамында белгілі бір органикалық молекулалардың құрылымын зерттеуші химикке де керек.

Оставьте комментарий

Filed under ЖАҢА МАТЕРИАЛДАР

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход /  Изменить )

Google photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google. Выход /  Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход /  Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход /  Изменить )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.